猜想小发明--“曲线长度测量笔”　　

重庆八中  李鲁骏东　　

一、问题的提出：　　

测量一条线段的长度，只需要一根直尺。然而如果要测量圆周的周长，也许你会说可以用一根细小的软毛线，或是通过C=2πr来进行计算。如果是某段抛物线，或是某段双曲线的长度，若是计算，工作量必然会很大，而软毛线化曲为直的方法看似方便巧妙，但是无疑会产生令人头疼的误差。这时一个大胆的想法浮现在我的脑海，能否发明一种测量长度的工具，毫不费力地测出曲线的长度呢？　　

二、探索的目的与意义：　　

测量出曲线的长度对于数学物理地理等学科都显得十分重要，如，在地图上测量山脉河流的长度。在猜想与思考测曲线长的工具时，更是丰富了思维，提升了思考问题的能力。　　

“曲线长度测量笔”的构思：　　

毕达哥拉斯学派认为，圆是世界上最美的图形。不仅是圆独特的对称性，更是因为圆周不如四边形的死板，展现着收敛的曲线美。测量线段长度的方法，古代的学者们早有记载，然而测量曲线长的方法，却只能用恼人的微积分去生搬硬套,或是用一根细绳麻烦地绕来绕去。事实上，以微观的角度来探索这世间的万物，你很难发现绝对的直线射线线段。哪怕一束光线，都可能因为空气密度不均匀而产生微小折射导致幻想中的“射线”却变成了一条“曲线”。物理学，以及其他理科的学习，无不追求严谨。那么，是否有一种测量工具能方便地测出曲线长度，并不会产生过大的误差呢？我很早以前便开始思考这个问题，直到学习了一定的物理知识，终于有了自己对于测量曲线长度的想法。　　

<!--[if !supportLists]-->三、猜想--设计曲线长度测量笔　　

一天晚上，我正马不停蹄地与顽固不化的作业做着殊死一搏。一根新买的签字笔在消灭了十张语文卷子后战死沙场，再也写不出半个字来。笔芯奄奄一息，黑色的墨水现在已一滴不剩。再看看写完的作业，满篇的黑字瞬间激发了我的一个念头，假设一台机器按固定的程序固定的力度用一支笔反复写一个相同的字，墨水的流失量理论上应该与写的字的个数成正比例函数关系。我又用细针管吸进1ML的墨水，再加入空墨胆钢笔。用这支笔在同一张光滑的纸上画线段，尽量控制使用笔的力度相同。当墨水用完后，测量线段长（刻度尺分度值100μm）。重复以上步骤两次，得到下表：　　

经过实验，发现三次数据极为接近。排除一些小小的误差，猜想是基本正确的。　　

    这时我想到了曲线长度测量是否可以依靠这种正比例函数关系来实现？也就是说，画出长度为x（x∈{x∈R|x≥0}）的一维图形与墨水消耗y成一一对应关系。在提到测量曲线长度前，我们先进行对一条线段的长度测量来进行初步试验。步骤如下：　　

材料：有适量墨水（墨水的质量密度与体积v₀已知）的钢笔，刻度尺，天平，烧杯　　

    1. 用有适量墨水的钢笔依靠刻度尺画一条k厘米的线段　　

<!--[if !supportLists]-->2.利用烧杯天平测量出剩余墨水的体积v₁　　

<!--[if !supportLists]-->3.每厘米耗墨量B=(v₁-v₀)/k　　

<!--[if !supportLists]-->4.画出待测线段，计算出耗损墨水m，则线段长度为B^-1m厘米

但是，操作过程中，“利用烧杯天平测量出剩余墨水的体积”这一步很难精准地控制，导致了计算墨水的使用量一步显得不准确且麻烦。那么，能否让计算墨水的使用量这一个步骤操作更简单？这时我想到能否设计一种笔（称为“曲线长度测量笔”），笔内墨胆为圆柱体（大致模样如示意图1），墨水采用密度较大的液体（液面下降明显便于观察）。只需算出单位长度所耗墨水量B，那么对于测量一条线段长，只需要用这种笔“临摹”一下待测线段，通过读取消耗墨水体积，便能计算出线段长度了。同理，只需要画出待测曲线，按理也能算出曲线长度。

四、“曲线长度测量笔”猜想的改进：　　

    但是，无论如何，人的眼睛都不会精确地读出使用了笔过后墨水的使用量。那么，是否可以用机器代替人眼进行测量墨水使用量呢？结合到液体对容器底部压强公式p＝ρgh，设计了以下的改进措施。　　

因为所耗墨体积与所画一维图形成正比例函数关系，体积又等于底面积乘高，底面积一定，所以管内墨水水位与所画图形长也有一一对应的正比例函数关系。为了便于说明，这种关系我们用字母B（单位高度/单位长度）表示。如图2，在墨囊底部装一个微型压力测力计与电脑无线连通，压力测力计受压力的表面已知为S，墨水密度已知为ρ，通过电脑上所显示的压力大小F可以得到液面的高度h=（F/S）/（ρg），这样便可以由一维图形长度=h/B得到所测量图形的长度了。为了控制在进行“画图形”这个环节的时候手对笔的压力保持一致，可以借助科技的帮助，设计一个程序来控制机器人进行测量操作，在笔的上端设计一个电子感应器，机器人找到感应器后开始工作。让电脑替代人脑，来完成这个“控制压力大小”的任务。　　

在查询过物理的一些测量器材后，其实也可以直接使用高精度测量的液位计来代替压力测力计。当然，我没想到的改进方法还有很多，物理学习是没有止境的。　　

五、总结与感想：　　

  以上就是我对“曲线长度测量笔”的猜想。然而，现在的我还是学识浅薄，如果没有日后日积月累的学习与成熟严密的思考，那这支笔永远也只是纸上谈兵。所以，作为一个二十一世纪的现代中学生，当务之急就是学好物理，学好新时代的科技，为世界增添一抹抹现代化的色彩。　　

点评：该生在学习并深刻理解长度的特殊测量方法后，对曲线测量工具进行创新性的猜想，利用相关实验器材进行了实验探究，最终寻找到可行的方案！在探究中运用数学和物理知识对曲线测量笔进行大胆的设计和尝试，对于一个初二的孩子来说是多么的难能可贵！即便有借鉴,这种学以致用,渗透物理学科思维和数理结合的思想也是一种高层次的创新!